Breve discorso su ћ – 2

Secondo appuntamento. Potete recuperare il filo del discorso partendo dal primo, ovvero da qui.
Breve nota: nel passaggio doc-blog mi sono accorto di vari problemi di formattazione. Portate pazienza eh!

 

 

Hic sunt leones?

La favola non è così bella come sembra. Infatti le due colonne della fisica sembravano non reggere al fastidioso peso di alcuni problemi ancora non risolti. Qui ricordiamo solamente i due forse più significativi, ovvero lo spettro di corpo nero e l’effetto fotoelettrico.
Snoccioliamo quindi la definizione di corpo nero³ . Esso è un oggetto in grado di assorbire tutta la radiazione elettromagnetica incidente e, parimenti, capace di non rifletterne nemmeno la più piccola parte. Può essere considerato come una sorgente di radiazioni elettromagnetiche di qualsiasi frequenza. Il suo potere assorbente è posto uguale ad uno per qualunque temperatura e qualunque lunghezza d’onda assorbita. Per rendere l’idea, si immagini un contenitore chiuso al quale venga praticato un forellino. Tutta la radiazione incidente viene completamente assorbita dal contenitore al cui interno i costituenti delle pareti vengono eccitati. La diseccitazione di questi provoca una nuova emissione di radiazione. La cavità diventerà poi sede di onde stazionarie, ad una definita temperatura T, quando si imporrà un equilibrio tra le onde elettromagnetiche contenute all’interno e il “movimento” dei costituenti delle pareti. Dal forellino è possibile studiare la radiazione uscente che prende il nome di radiazione di corpo nero alla temperata T. La curva risultante, una campana asimmetrica, dipende dal valore della temperatura ed ha un massimo per una certa λ. Wilhelm Wien (1864-1928) studiò diverse curve corrispondenti a temperature differenti giungendo, nel 1893, alla formulazione della legge che porta il suo nome,

che indica come la posizione del massimo sia in correlazione con la temperatura. Un’altra legge importante ricavabile dai dati sperimentali è la legge di Stefan-Boltzmann⁵ che ci informa che l’energia irradiata, R, dal corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della temperatura

dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann, il cui valore è ≈ 5.67 ⋅ 10ˉ erg cm ˉ² s ˉ¹ K ˉ⁴ .
La problematica stava nel giustificare teoricamente le due leggi appena accennate e l’andamento della curva spettrale di corpo nero. Il lavoro di John W. Strutt (1842-1919) e di Sir James H. Jeans (1877- 1946) aveva mosso qualche passo verso un possibile inquadramento teorico, ma l’accordo con i dati sperimentali si limitava alle basse frequenze. Rimanevano privi di spiegazione il comportamento ad alte frequenze e la presenza di massimi. L’andamento delle prime fece coniare la significativa dicitura di catastrofe ultravioletta. Un problema non da poco dunque. Ma dove risiedeva l’errore? I fisici britannici peccarono nel considerare la questione da un punto di vista classico. Infatti: se viene definita ε l’energia media di un insieme di oscillatori armonici (ogni singolo costituente delle pareti può infatti essere immaginato come tale) in equilibrio termico e aventi la medesima frequenza ν , si avrà

che rappresenta l’energia della radiazione per unità di volume e per frequenze comprese tra ν e ν + dν con N (ν )dν numero di onde stazionarie presenti nella cavità. Rayleigh e Jeans trattarono quindi l’energia ε dell’oscillatore armonico come se fosse in grado di assumere un valore arbitrario, da zero a infinito, quindi una variazione propriamente classica. Il risultato che ottennero si accordava perfettamente con uno già noto
Si era perciò nel seno del teorema di equipartizione dell’energia. Ne dedussero il valore della densità di energia

che può essere facilmente riscritta come

dalla quale finalmente si può vedere come l’andamento non si accordi affatto con i dati sperimentali.

Il genio di Max Planck (1858-1947), deriva dall’aver ipotizzato che l’energia ε non potesse variare in modo arbitrario, ma discreto. Forte di questa ipotesi, pensò che l’energia degli “oscillatori armonici”, di frequenza ν , potesse assumere solo valori quantizzati ε , multipli di un dato valore fondamentale ε secondo la relazione

con n = 0,1,2,3… . Planck tenne per buona la distribuzione di energia usata dai fisici britannici (quella di Boltzmann) e ne ricavò

espressione che, posta nell’equazione della densità di energia, permette di ricavare

che altro non è se non la legge di Planck per la radiazione di corpo nero. Il valore della costante h calcolato da Planck è molto piccolo ≈ 6.626 ⋅ 10 ˉ²⁷erg s . Le sue dimensioni tanto ridotte sono le artefici dell’inganno per il quale sembra possibile variare l’energia di un’onda con continuità. Ma con tale valore, la legge trovata dal fisico tedesco si accorda perfettamente con quelle di Wien e Stefan-Boltzmann e predice correttamente l’andamento della curva spettrale. Si aprivano dunque nuovi orizzonti. Era il 1900.
Ma la guerra alla visione classica del mondo si combatté su più fronti. Il secondo menzionato qui è stato quello dell’effetto fotoelettrico. Venne scoperto da Heinrich R. Hertz (1857-1894) nel 1887 e iniziato a studiare da Hallwachs l’anno dopo . Tutto partì dall’osservazione di una piastrina di zinco investita da radiazione elettromagnetica: si notò che l’incidenza del fascio luminoso generava una fuga di elettroni dalla superficie del metallo (più precisamente: una piastrina inizialmente neutra si caricava positivamente, una già carica negativamente perdeva la sua carica e una positiva non modificava la sua carica). Tale fuga dipendeva dalla luce incidente ma in modo tutt’altro che intuitivo. Era plausibile infatti aspettarsi un aumento dell’energia cinetica degli elettroni all’aumentare dell’intensità del fascio. Ciò non accadeva, ma si osservava solamente un maggior numero di elettroni estratti dal metallo. La velocità variava solo in funzione della frequenza e per certe ν di soglia, il metallo non si disturbava affatto a lasciar liberi degli elettroni. Si registrò quindi un incremento di velocità via via più grande procedendo verso la gamma del blu-viola (per rimanere nell’ambito del visibile). Questo aspetto, verificato sperimentalmente da Philipp E. A. von Lenard (1862-1947) nel 1902, era decisamente difficile da giustificare alla luce dell’elettromagnetismo classico. Ma l’intuizione di Albert Einstein (1879-1955) trovò espressione nella soluzione del problema nel 1905. Il suo approccio prevedeva di considerare le particelle interagenti, i fotoni , come quanti dotati di un’energia proporzionale alla frequenza ν :

ovvero all’ombra del ragionamento di Planck. Einstein legò l’energia cinetica E degli elettroni al valore dell’energia elettromagnetica incidente diminuita dell’energia necessaria per l’estrazione degli elettroni stessi. In formule:

dove l’ultimo termine è il lavoro di estrazione. Viene così compreso il limite di soglia ν: un fotone incidente debolmente energetico non è in grado di vincere la barriera posta da W e liberare un elettrone. Viceversa, se dotato di energia sufficiente, non solo gli è possibile liberare un elettrone ma anche fornirgli un’energia cinetica derivante da quella in eccesso. Per la corretta interpretazione del fenomeno Einstein ricevette il premio Nobel nel 1921.
Ora, le precedenti considerazioni ci devono brevemente far tornare con la memoria al passato, più precisamente al XVII secolo. Fu nella seconda metà di questo che nacque una discussione circa la natura della luce. Newton infatti la ipotizzò come composta da particelle e ciò ne spiegava la propagazione in linea retta ed anche la riflessione (un urto elastico! Più semplice di così…) e rifrazione. Di un altro avviso era invece Christiaan Huygens (1629-1695), il quale formulò una teoria ondulatoria in grado di spiegare diversi fenomeni (compresi quelli della riflessione e rifrazione) con un approccio più complesso. Tale teoria inoltre era supportata dalle successive esperienze di Thomas Young (1773-1829) sulla diffrazione e interferenza e ulteriori conferme sperimentali fecero cadere l’idea corpuscolare. Eppure, come ci si è potuto accorgere, la verità risiede nel mezzo e al giorno d’oggi attribuiamo alla luce la doppia natura che le è propria: tanto particella quanto onda.

 

³ Il termine venne introdotto nel 1862 da Gustav Kirchhoff (1824-1887).
⁴ Il valore approssimato della costante è ≈ 0.290 cm K.
⁵ La scoperta sperimentale avvenuta nel 1879 è merito di Jožef Stefan (1835-1893), mentre la spiegazione teorica del
1884 si deve a Ludwig Boltzmann (1844-1906).
 Nell’immagine alla quale si fa riferimento (è fatta a mano, si abbia pietà) è stato indicato con il colore rosso
l’andamento trovato da Jeans e Rayleigh.
 È bene precisare che anche il fisico italiano Augusto Righi (1850-1920) studiò l’effetto, in modo indipendente dal
collega. Fu anche il primo ad adottare il termine fotoelettrico.
 La scoperta dell’elettrone, avvenuta nel 1897, si deve a Joseph J. Thomson (1856-1940).
 Il termine venne coniato dal chimico Gilbert N. Lewis (1875-1946) nel 1926. Per una brevissima caratterizzazione di
queste particelle virtuali si rimanda a Sei pezzi meno facili di Richard Feynman, Piccola Biblioteca Adelphi 512, giugno 2006, p. 165