Breve discorso su ћ – 4

Creste d'onda

Quarto appuntamento con la meccanica di ciò che non si vede – con gli occhi, almeno!

 

Sulla cresta dell’onda
(e questioni di forma)

Facendo riferimento a qualche riga più sopra, la “ristrutturazione” della conoscenza iniziata da de Broglie nel 1924 trovò in Erwin R. J. A. Schrödinger (1887-1961) uno dei suoi restauratori per eccellenza. Partendo dall’ipotesi di de Broglie, il fisico austriaco pubblicò nel 1926 un lavoro¹⁶ sullo studio della quantizzazione dei livelli energetici dell’atomo di idrogeno. In tale lavoro comparve per la prima volta una funzione d’onda, ovvero l’ampiezza del campo di onde tramite il quale è possibile descrivere le particelle quantistiche. Ragion per cui la funzione d’onda ne rappresenta lo stato fisico e si indica usualmente con la dicitura ψ (x, t ) . Ora, prima di addentrarci nel territorio della meccanica ondulatoria, torniamo con la mente all’esperimento di interferenza (buttate un occhio qua, al fondo). Nell’ipotesi di poter considerare un singolo elettrone per volta, anziché un fascio, è d’obbligo per quanto detto fin’ora associare alla particella in questione un campo d’onda. È ragionevole pensare che l’annerimento della lastra dovuto all’incidenza dell’elettrone su di essa sia proporzionale all’intensità del campo, quindi vada con il quadrato del suo modulo (questo perché sono in ballo funzioni complesse per le quali è errato considerare l’ampiezza nuda e cruda). Il campo d’onde definito per il singolo elettrone fornisce una stima di probabilità circa l’incidenza della particella in un determinato punto della lastra, definito chiaramente a posteriori. Si tratta quindi di immaginare l’onda in questione come un’onda di probabilità. Matematicamente, è necessario che la quantità

Onda di probabilità 1

risulti proporzionale alla probabilità, indicata con

Probabilità

di poter trovare il sistema descritto dalla funzione d’onda ψ (x, t ) nell’elemento di volume compreso tra i piani x e x + dx , y e y + dy , z e z + dz all’istante t. Perciò deve valere

Onda di probabilità 2

nella quale si è indicato con |N|² la costante di proporzionalità. Appare chiaro come la funzione d’onda debba essere a quadrato sommabile alias l’integrale esteso a tutto lo spazio di |ψ ( x , t )|² sia convergente. La funzione d’onda può quindi essere normalizzata definendo una nuova funzione |ψN ( x , t )|² tale per cui si abbia

Funzione d'onda

e in modo che quindi si possa pensare a |ψN ( x , t )|² come ad una densità di probabilità di posizione. Passando dalla matematica alla storia, questa interpretazione è merito di Max Born (1882-1970) e risale all’estate del 1926. Si è trovata quindi una risposta al quesito lasciato in sospeso precedentemente.

Adesso, è doveroso un breve accenno alla forma della funzione d’onda senza scendere affatto nel dettaglio dei calcoli. Poniamoci dunque nel caso più semplice di una particella libera, di massa m e moto unidimensionale, e procediamo con una prima ipotesi. Dall’evidenza dei dati sperimentali, appare chiaro come le particelle quantistiche possiedano una natura ondulatoria: si può pertanto supporre che l’equazione in grado di descriverle sia in forma differenziale, in analogia con quanto si sa da una descrizione classica per campi di onde. Da quest’ipotesi discendono due condizioni dettate dal principio di sovrapposizione: l’equazione deve essere lineare e i coefficienti di tale equazione non devono contenere parametri dinamici in modo essenziale. La prima è facilmente spiegabile in quanto solamente per equazioni lineari una combinazione lineare di soluzioni è ancora soluzione. La seconda implica che qualora si avesse un parametro dinamico nei coefficienti dell’equazione, questo comporterebbe che funzioni d’onda aventi valori differenti del parametro in questione non sarebbero più soluzioni di un’unica equazione con la conseguenza di non poter più sovrapporre stati corrispondenti a valori diversi del parametro in esame. Da ciò, con i dovuti passaggi matematici, qui trascurati, si perviene all’equazione

Equazione di Schrödinger 1

Nella sua forma più generale, considerando la particella di massa m soggetta ad un campo di forze conservativo F, si può scrivere l’equazione di Schrödinger come

Equazione di Schrödinger 2

che tuttavia può essere ulteriormente semplificata considerando la hamiltoniana H del sistema

Hamiltoniana

dove con T si indica la funzione energia cinetica e con V la funzione energia potenziale. Interpretando quindi H come l’operatore quantistico

Operatore hamiltoniano

l’equazione viene riscritta come

Equazione di Schrödinger 3

Si è quindi ottenuta un’equazione in grado di stabilire l’evoluzione temporale della funzione d’onda associata ad un sistema quantistico qualsiasi.
Accanto alla formulazione appena presentata è stato sviluppato, all’incirca nello stesso periodo, un altro approccio ai fenomeni quantistici. Ad aprire le danze di una diversa impostazione teorica fu Werner K. Heisenberg (1901- 1976). Il fisico tedesco partì dall’osservazione che una qualsiasi quantità periodica dipendente dal tempo, come la celebre x ( t ), possa essere rappresentabile tramite uno sviluppo in serie di Fourier. In un caso semplice come quello di un moto periodico unidimensionale, la x è data da espressioni del tipo

Sviluppo in serie di Fourier

In tal modo la fisica classica può risolvere molti problemi la cui soluzione è dipendente dalla posizione x di una particella al tempo t , tanto per gradire un esempio. Su un terreno non classico, però, non è possibile usufruire di un simile approccio, ma occorre invece eliminare il riferimento a quantità non osservabili, sostituire allo sviluppo in serie delle ampiezze quantistiche come a ( n , m ) . Queste possono così indicare ampiezze riferite a transizioni quantiche dallo stato n a quello m o ancora, tornando alla x ( t ) di prima, sostituire l’equazione del moto con termini a ( n , m) dipendenti da condizioni quantiche sulle frequenze ω nel senso di Bohr.
Heisenberg introdusse anche una regola di moltiplicazione per tali termini, ma furono Born e Pascual Jordan (1902-1980) ad identificare tale regola come quella per il calcolo matriciale. Nel novembre del 1925 i tre fisici presentarono su “Zeitschrift für Physik” una trattazione esauriente della nuova teoria matriciale con un articolo intitolato Zur Quantenmechanik II.
In conclusione si può affermare che le due formulazioni, oltre ad avere in comune la medesima collocazione cronologica con una buona approssimazione, portavano in sé lo stesso contenuto pur partendo da ipotesi e considerazioni differenti e avendo linguaggi diversi tra loro.

 

¹⁶ La monografia era intitolata Quantisierung als Eigenwertproblem, pubblicata su “Annalen der Physik”.
 François M. C. Fourier (1772-1837)

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