Breve discorso su ћ – 5

Ultime stranezze dallo stagno

Ultimo appuntamento con la lunga chiacchierata su ħ e dintorni.
Per chi fosse capitato qui per caso, può risalire a passo di gambero e partire con ordine, senza perdersi tra parole e formule, da qui:


Breve discorso su ћ – 1
Breve discorso su ћ – 2
Breve discorso su ћ – 3
Breve discorso su ћ – 4

 

Ultime stranezze dallo stagno..

Nel corso di queste righe si è tentato di fornire un quadro di come i due fragili pilastri della fisica di fine ʼ800 siano stati gradualmente sostituiti con strutture più stabili e atte a spiegare i fenomeni fisici irrisolti. Per non turbare troppo le acque del nostro stagno, gettiamo in ultimo ancora due sassolini. In verità il primo, più che sassolino, è parente delle pietre miliari date le sue implicazioni sulle nostre limitazioni: il principio di indeterminazione di Heisenberg. Molto serenamente, l’enunciato espresso nel 1927 dichiarò l’impossibilità di stabilire con precisione arbitraria e simultaneità i valori di una coppia di variabili canonicamente coniugate: il prodotto delle incertezze conseguente alla loro misura non può mai essere minore di una quantità dell’ordine della costante h; in formule

Principio di indeterminazione di Heisenberg

che è la relazione di indeterminazione canonica generalmente valida dove q e p sono una coppia di osservabili canonicamente coniugate.
Un caso particolare di grande interesse si ha indicando con q = xi la i-esima componente del vettore posizione x e con p = pi la i-esima componente dell’impulso p , ottenendo

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Tale relazione indica senza fronzoli l’impossibilità di conoscere, nello stesso istante, la posizione e la velocità di un sistema fisico. Quali migliori parole possono rendere piena l’assimilazione di questo principio se non quelle dello stesso Heisenberg?

“Non possiamo, neppure in linea di principio, conoscere il presente in tutti i suoi dettagli. Per questa ragione, ogni cosa che osserviamo è una selezione da una globalità di possibilità e una limitazione su ciò che è possibile in futuro. Poiché il carattere statistico della teoria quantistica è così strettamente legato all’inesattezza delle nostre percezioni, si potrebbe essere propensi a presumere che, al di là del mondo statistico percepibile, si nasconda un mondo “reale” nel quale sia ancora valida la causalità. Abbiamo tuttavia l’impressione, a essere franchi, che speculazioni di questo genere siano inutili e insensate.”

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Ipse dixit. La causalità è stata sconfitta dalla meccanica dei quanti. Nel caso ci fosse rimasto dello scetticismo nelle tasche, un semplice esempio dissolverà ogni dubbio.
Immaginiamo di avere a portata di mano una cosa qualunque della nostra vita quotidiana, per esempio una mela. Al tempo stesso, tramite un accurato strumento di misura, siamo in grado di stabilirne la posizione della componente x del baricentro con un’approssimazione invidiabile ( ≈ 10ˉ cm ). Dall’ultima relazione scritta nella pagina precedente è possibile ricavare l’incertezza sulla velocità:

Incertezza sulla velocità

e ponendo m = 200 g , sapendo che h ≈ 10ˉ erg s , si ottiene:

Incertezza sulla velocità

In fin dei conti è quindi possibile apprezzare uno spostamento della mela dal luogo dove l’abbiamo riposta, anche se un immediato paragone ce ne mostrerà la trascurabilità. Infatti il risultato trovato si può tradurre con un tempo, in media, di 10 s necessario per osservare uno spostamento della mela pari ad un cm. Se a questo valore accostiamo l’età dell’Universo stimata in ≈ 3 × 10 s ci rendiamo subito conto di quanto sia insignificante l’incertezza calcolata.
È chiaro, viceversa, che un tale discorso assume notevole rilevanza quando al posto di una mela si consideri un elettrone la cui massa è di ≈ 10ˉ g . Assumendo un’incertezza pari a Δ x ≈ 10ˉ cm si ricava una

Incertezza sulla velocità

Un simile valore indica in modo lampante l’enorme grado di incertezza sulla velocità dell’elettrone aggravata dalla precisione della Δ x fornita.

Si possono infine scrivere anche altre relazioni di (quasi) indeterminazione come quella tra energia e tempo, ma non apporterebbero ulteriori contributi al pensiero di fondo.
Per quanto riguarda l’ultimo argomento, partiamo nuovamente dalla fortunata intuizione di de Broglie considerando il semplice caso dell’atomo di idrogeno. Scriviamo dunque:

de Broglie

e dalla quantizzazione del momento angolare

Quantizzazione del momento angolare

esplicitando la quantità mv , si ottiene

La circonferenza dell’ n -esima orbita contiene esattamente n lunghezze d’onda dell’elettrone

da cui discende immediatamente il significato fisico: la circonferenza dell’ n -esima orbita contiene esattamente n lunghezze d’onda dell’elettrone. Eppure la quantizzazione del momento angolare non bastava a giustificare diverse evidenze sperimentali. Nel 1927 Wolfgang E. Pauli (1900-1958) introdusse lo spin, un momento angolare intrinseco alle particelle, riferendosi nello specifico all’elettrone: questa ulteriore caratterizzazione della particella, o grado di libertà intrinseco, rendeva conto ad esempio dell’accoppiamento anomalo degli elettroni di un sistema atomico soggetto all’azione di un campo magnetico esterno, ovvero dell’effetto Zeeman a cui si è fatto cenno in precedenza. Facendo riferimento ad un modello planetario dell’atomo si può visualizzare lo spin elettronico come un movimento rotatorio della particella intorno al proprio asse. Una visione più moderna descrive lo spin come un’osservabile alla quale corrisponde un operatore vettoriale hermitiano S: possiede tutte le caratteristiche di un momento angolare ma non opera nell’ordinario spazio tridimensionale, bensì in quello dello spin appunto. Il contributo più importante a questa visione si deve a Paul A. M. Dirac (1902-1984) che in un saggio del 1928, The Quantum Theory of the Electron, respinse con forza il modello orbitante sul proprio asse e impose in chiave strettamente matematica la condizione di raccordo tra una descrizione relativistica dell’elettrone e i requisiti fondamentali di una descrizione quantistica. La prima era stata impostata tra il 1926 e il 1927 da Walter Gordon (1893-1939) e da Oskar B. Klein (1894-1977); il lavoro dei due diede vita ad equazioni molto generali per l’hamiltoniana di una carica puntiforme, di massa m , mobile in un campo elettromagnetico. Lo scopo di Dirac fu quindi quello di trovare un’equazione d’onda in grado di essere invariante per la trasformazioni di Lorentz e, al tempo stesso, equivalente all’equazione di Klein-Gordon nel limite classico di grandi numeri quantici. Con questo procedimento Dirac riuscì a trovare una spiegazione delle proprietà dello spin elettronico nel seno della trattazione dinamica relativistica, da cui discendono automaticamente, senza un’introduzione ad hoc di un termine aggiuntivo nell’equazione di Schrödinger come fece Pauli.

Inoltre trovava così piena comprensione e giustificazione il principio di esclusione di Pauli, enunciato pochi anni prima, per il quale due elettroni in un atomo non possono occupare il medesimo stato quantico. Più in generale, il principio di esclusione è la regola basilare del comportamento dei fermioni, impossibilitati a possedere gli stessi numeri quantici in quanto aventi spin semi-intero. Da ciò si comprese quindi il meccanismo di occupazione dei livelli energetici nell’atomo, l’ultima conquista della conoscenza umana qui presentata.

 

Ritengo che questi elementi siano sufficienti a comprendere la profondità della rivoluzione quantistica. Essa non si ferma, a parer mio, al solo studio dei fenomeni del nostro mondo, ma ne ridisegna la filosofia, rivolta il guanto delle nostre percezioni e, infine, ci stupisce.
Mi rendo conto dell’incompletezza del testo, di come manchino esposizioni e approfondimenti su argomenti come il decadimento β , l’esistenza del neutrino e la connessione-discendenza che lega lo studio dei raggi cosmici con quello della fisica delle particelle, quindi con il decadimento di altre particelle ancora. Occorre però ribadire l’intento iniziale che ho cercato di rispettare il più possibile, selezionando gli argomenti a mio avviso più importanti. Spero infine di non aver violato un principio non fisico, ma comunque importante e sempre taciuto: non essere noioso.

 

 

 Titolo originale dell’opera Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, 23 marzo 1927, Copenaghen. Tratto dall’ultima pagina (la traduzione non è mia).
 A onor del vero una prima ipotesi sull’esistenza dello spin venne avanzata nel 1923 da George E. Uhlenbeck (1900- 1988) e Samuel A. Goudsmit (1902-1978) nel tentativo di interpretare i risultati sperimentali di Stern e Gerlach e l’effetto Zeeman “anomalo” (si veda nota sottostante).
 Gli spettri Zeeman sono distinti in due categorie: quelli denominati “normali” e quelli definiti “anormali”. Nel testo si fa riferimento a questi ultimi, per comprendere i quali è indispensabile l’uso dello spin. La differenza rispetto alla prima tipologia risiede nel numero di righe spettrali, superiore a tre.

 

 

 

Bibliografia e letture

In questa sezione presento i libri ai quali ho fatto riferimento per la stesura del testo. Aggiungo anche delle letture interessanti non citate in precedenza perché avrebbero ramificato eccessivamente il discorso principale.

  • RICHARD P. FEYNMAN, Six easy pieces, California Institute of Technology, 1963, 1989, 1995 [trad. it. Sei pezzi facili, Piccola Biblioteca Adelphi 450, luglio 2007, p. 25]
  • RICHARD P. FEYNMAN, Six Not-So-Easy Pieces, California Institute of Technology, 1963, 1989, 1997 [trad. it. Sei pezzi meno facili, Piccola Biblioteca Adelphi 512, giugno 2006, p. 165]
  • BRIAN GREENE, The Elegant Universe. Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, 1999 [trad. it. L’universo elegante. Superstringhe, dimensioni nascoste e la ricerca della teoria ultima, Einaudi, 2000]
  • CESARE ROSSETTI, Rudimenti di Meccanica Quantistica, Levrotto & Bella, 2008.
  • La Scienza, Opera realizzata dalla Redazione Grandi Opere di UTET Cultura, 2005.
  • ERWIN SCHRÖDINGER, What is Life? The Physical Aspect of the Living Cell, Cambridge University Press, 1944 [trad. it. Che cos’è la Vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico, Piccola Biblioteca Adelphi 341, febbraio 2006]
  • PIERGIORGIO ODIFREDDI, Le menzogne di Ulisse, TEA, novembre 2007.
  • JAMES KAKALIOS, The Physics of Superheroes, 2005 [trad. it. La fisica dei supereroi, Einaudi, 2007]
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2 thoughts on “Breve discorso su ћ – 5

    • Ciao Marta! :D
      So bene che un post così in chiusura di Ferragosto è quasi impossibile da leggere, ma se sei un po’ curiosa spulcia la bibliografia che ho messo al fondo. Magari potresti trovare delle buone letture per questa fine d’estate ;)

      Un caro saluto a te!

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